EL ÁREA ENTRE DOS CURVAS
En esta sección estudiaremos como calcular el área entre dos curvas.
El problema es el siguiente: Dadas dos funciones f y g , encontrar el área contenida entre sus gráficas en el intervalo [a,b] .
Para ilustrar el problema y el procedimiento, observa el siguiente ejemplo.
f(x)= 3x3 - x2 - 10x | g(x)= - x2 + 2x |
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Utilizaremos el mismo procedimiento que se usó para encontrar el área bajo una curva. Se aproximará el área entre las dos curvas haciendo una partición del intervalo [a,b] en nsubintervalos de longitud (b-a)/n. En cada subintervalo escogemos un valor particular de x, al que llamaremos x*.
- Evaluamos f(x*) y g(x*) y formamos rectángulos de base (b-a)/n y de altura f(x*)-g(x*) (si f(x*)>g(x*)).
- El área de dicho rectángulo es (f(x*)-g(x*))((b-a)/n). Al sumar las áreas de los rectángulos obtenemos una aproximación al valor del área entre las curvas.
- Tomando el límite cuando n--->Infinito obtendremos el valor exacto del área buscada.
- Por definición, el límite de la sumatoria de Riemann es la integral definida de f(x)-g(x) en [a,b].
Si g(x)>f(x) en alguna parte del intervalo, entonces la altura de los rectángulos es g(x*)-f(x*).
En cualquier caso la altura de los rectángulos es |f-g| (valor absoluto de la diferencia).
Definición de área entre dos gráficas:
El área entre las gráficas de y=f(x) ,y=g(x) en el intervalo [a,b] está dado por el valor de la Integral Definida de |f-g| en [a,b].
Enseguida se calculará el área de la región entre dos curvas:
Dentro del intervalo (-2,2), las curvas:
y=2(1-x2) y y=x2-1
se intersectan en x = -1, 1.
f(x)=2(1 - x2) ; g(x)=x2-1
El área entre las curvas en cada subintervalo es: {4, 4, 4}
Cada una de estas áreas tiene que ser calculada por separado.
El área total entre las curvas es:
4 + 4 + 4 = 12
Dentro del intervalo (-1,1.5), las curvas:
y = -x2/3+1 yy = x2/3
se intersectan en x = 1.
f(x)= -x2/3+1 ; g(x)=x2/3-1
El área entre las curvas en cada subintervalo es: {1.6, 0.15867}
Cada una de estas áreas tiene que ser calculada por separado.
El área total entre las curvas es: 1.6 + 0.15867 = 1.75867
Otros métodos: Rectángulos horizontales.
El procedimiento anterior depende de que, en cada intervalo de integración, la curva "de arriba" es la misma y la curva "de abajo" también. A continuación se muestra una situación en donde esto no se cumple. Observa las siguientes gráficas.
Observa que en el intervalo [-1,3] no se cumple que la curva "de arriba" sea la misma. En [-1,2] la curva de arriba es y=x-1, mientras que en [2,3] la curva de arriba es y=(3-x)1/2.
En la gráfica anterior dibujamos un rectángulo horizontal de base X2- X1 y de altura y.
X2 es elvalor de x dado por la curva de la derecha (x=3-y2) y X1 es el valor de x dado por la curva de la izquierda (x=y+1). En esta situación la curva de la derecha siempre es la misma y la curva de la izquierda también es la misma para todos los rectángulos horizontales desde y=-2 hasta y=1.
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| y=1 | |
Entonces el área entre las curvas es igual a | | [3 - y2 - (y+1)] dy |
| y=-2 | |
Si integramos con respecto a "y" la diferencia (3-y2) - (y+1) entre y=-2 hasta y=1, entonces encontramos que:
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Area entre las curvas = |
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COMANDOS BÁSICOS PARA EL
CÁLCULO EN DERIVE
Los comandos tienen que ser cargados en la memoria del ordenador antes de ser utilizados por primera vez en un documento de trabajo.
El programa DERIVE ofrece una ayuda tan completa como fácil de usar.
Menú Principal. Barra de Título
Para trabajar mediante los comandos se preciona la tecla ctrl + la letra subrayada.
estos son los siguientes comandos utilizados en derive:
Normal: Simplifica una expresión devolviendo su valor exacto.
Aproximar: Simplifica una expresión devolviendo un valor aproximado.
Exprecion: Encuentra la solución algebraica o numérica de una ecuación respecto a una variable seleccionada.
Sustituir variable: Permite sustituir una variable por un valor determinado o por una función de otras variables.
Vector: Permite introducir vectores de 100 elementos como máximo.
Matriz: Sirve para crear matrices de tamaño máximo 100 × 100.
Limite: Calcula el límite de una función cuando una de sus variables tiende a un determinado valor
Derivada: Calcula la derivada parcial, del orden deseado, de una función respecto a una de sus variables
Integral: Cacula la integral, definida o indefinida, de una función respecto a una variable.
Suma y serie: Realiza la suma de una función respecto a una variable que varía en una unidad desde un valor mínimo hasta uno máximo.
Producto: Realiza el producto de una función respecto a una de sus que varía en una unidad a partir de un mínimo y hasta un valor máximo.
Modo de trazado: Cuando se activa, el cursor se convierte en un cuadrado que recorre las gráficas de las funciones.
Gráfica: Dibuja la gráfica de la expresión seleccionada en la Ventana de Álgebra.
Borrar Gráfica: Permite borrar gráficas: la primera, la última, o todas menos la última.
Anotación: Permite introducir un comentario que aparecerá en la posición del cursor.
