ECUACIONES LINEALES

Sistemas de ecuaciones lineales

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales AX = B de n ecuaciones con m (n puede ser igual a m) incógnitas, se introduce la matriz A del sistema y el vector columna B de los términos independientes, no es preciso considerar el vector columna X de las incógnitas (x1, x2, x3).

1.    Ejemplo:

Consideremos el siguiente sistema:

>> A = [0 3 -4; 6 -3 -4; 6 -9 4; 1 1 1]

      A =

             0 3 -4

             6 -3 -4

             6 -9 4

             1 1 1

>> B = [0; 0; 0; 1]

       B =

             0

             0

             0

             1

>> X = A\B

      X =

             0.3636

             0.3636

             0.2727

Observación.- El operador matricial de MATLAB "\" división izquierda equivale a la solución de sistemas lineales mediante X = inv(A)*B. este operador es más poderoso de lo que parece, puesto que, suministra la solución aunque la matriz A no tenga inversa.

MATLAB, proporciona la solución gráfica de un sistema de ecuaciones lineales, mediante los comandos siguientes:

>> [x,y] = meshgrid(-4:0.5:5);

>> z = 3*y/4;

>> surf(x,y,z)

Se obtiene el siguiente plano:

>> hold on

>> z = (6*x - 3*y)/4;

>> surf(x,y,z)

Se obtiene los planos interceptados en una línea recta

>> z = (-6*x + 9*y)/4;

>> surf(x,y,z)

Se obtiene los planos  interceptados en una línea recta.

>> z = 1- x - y;

>> surf(x,y,z)

Se obtienen los cuatro planos interceptados en el punto.

 

2.    Ejemplo:

Consideremos, ahora un sistema lineal incompatible.

x + z = 1

x – y + 3z = -3

x + y – z = 1

>> A = [1 0 1; 1 -1 3; 1 1 -1]

     A =

            1 0 1

            1 -1 3

            1 1 -1

>> B = [1; -3; 1]

     B =

            1

            -3

            1

>> X = A\B

Warning: Matrix is singular to working precision.

X =

       Inf

       Inf

       Inf

3.    Ejemplo:

Consideremos, ahora un sistema lineal compatible indeterminado

x1 - x2 = 4

x1 – 3x2 – 2x3 = -6

x1 + 2x2 – 3x3 = 1

>> A = [1 -1 0; 1 3 -2; 4 2 -3]

      A =

             1 -1 0

             1 3 -2

             4 2 -3

>> B = [4; -6; 1]

     B =

             4

             -6

             1

>> X = A\B

Warning: Matrix is close to singular or badly scaled.

Results may be inaccurate. RCOND = 9.251859e-018.

    X =

             3.5000

            -0.5000

             4.0000

El paquete de software MATLAB permite la solución de estos sistemas utilizando el Método de Gauss-Jordan. Ejemplo:

>> A = [1 -1 0 4; 1 3 -2 -6; 4 2 -3 1]

% A es la matriz ampliada

     A =

            1 -1 0 4

            1 3 -2 -6

             4 2 -3 1

>> A(2,:) = A(2,:)-A(1,:)

      A =

              1 -1 0 4

              0 4 -2 -10

              4 2 -3 1

 

>> A(3,:) = A(3,:) - 4*A(1,:)

      A =

             1 -1 0 4

             0 4 -2 -10

             0 6 -3 -15

>> A(2,:) = A(2,:)/-2

     A =

             1 -1 0 4

             0 -2 1 5

             0 6 -3 -15

 

>> A(3,:) = A(3,:) + 3*A(2,:)

      A =

              1 -1 0 4

               0 -2 1 5

               0 0 0 0

Luego

x1 = 4 + x2 y x3 = 5 + 2x2

¡Infinitas soluciones!

Por ejemplo, para x2 = - 0,5

   x1 = 3,5 y x3 = 4

Nota. El carácter % indica comienzo de un comentario, es ignorado por MATLAB.